Distribution \(T\)
Forme linéaire \(T:\mathcal D(\Omega)\to{\Bbb R}\) dont la restriction à \(\mathcal D_K(\Omega)\) soit
continue \(\forall K\subset_c\Omega\).
I.e. $$\forall K\subset_c\Omega,\exists n_K\in{\Bbb N},\exists C_K\geqslant0,\forall \varphi\in\mathcal D_K(\Omega),\quad\lvert T(\varphi)\rvert\leqslant C_K\max_{\lvert\alpha\rvert_1\leqslant n_K}\lVert\partial_\alpha \varphi\rVert_\infty$$(avec \(\mathcal D(\Omega)\) l'ensemble des fonctions \(\mathcal C^\infty\) à support compact dans \(\Omega\).)
- on appelle ordre de la distribution sur \(K\) l'entier \(n_K\) minimal qui fonctionne
- on dit que la distribution est d'ordre fini s'il existe un \(n\) qui fonctionne sur tout compact \(K\subset_c\Omega\)
- on note \(\langle{T,\varphi}\rangle =\int_\Omega T\varphi\) \(:= T(\varphi)\)
- la dérivée de \(T\) est donnée par la formule \(\langle{T^\prime,\varphi}\rangle =\) \(-\langle{T,\varphi^\prime}\rangle \)
- critère de convergence : \(T_n\overset{\mathcal D^\prime(I)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} T\iff\) \(\forall\varphi\in\mathcal D(I),\langle{T_n,\varphi}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\langle{T,\varphi}\rangle \)
Questions de cours
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Si \(\varphi\in\mathcal D(I)\), que dire de \(\displaystyle\int_I\varphi^\prime\) ?
Verso: C'est nul d'après le
Théorème fondamental d'analyse, car \(\operatorname{supp}(\varphi)\subset I\), et \(\varphi\) s'annule aux bords de son support.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Exercices
